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代数

K12/数学/高中

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英文“Algebra”一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米(al-Khowārizmī,约780-850)的一本著作《还原与对消的科学》,书名的阿拉伯文是“ilm al-jabr wal muqabalah”,“al-jabr” 是还原的意思,这里是指把负项移到方程另一端还原为正项,“muqabalah”的意思是对消或化简,指方程两端可以消去相同的项或合并同类项。在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”,拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用,英文的翻译就是“algebra”。

代数是研究数量本身(整数、有理数、无理数、超越数等),记数系统(记数符号、记数方法、计算程序)(参考《识数和辨形》第一章、第二章),数量之间的内在联系(比如数论),具体问题的数量关系(比如曲线方程、函数、结构),以及其性质的数学分支。随着代数的发展,在十六、十七世纪,数学家们开始逐渐的使用拉丁和希腊字母来替代代数对象、数量的记数符号、运算、以及数量关系,从而可以在简洁的代数符号的基础上进行思考。

在公元零年以前,代数的发展以古希腊的比例理论和数论,以及中国古代的程序化计算最为突出,对于中国古代的数量运算的程序化步骤和古希腊关于数论的部分,可以参看《识数和辨形》,下面重点介绍古希腊欧几里得在他所著作的《几何原本》(《Elements》)中的比例理论。

古希腊的记数系统最早时也和其他地方的文明一样,使用代表数量的符号来记录数量,但是到公元前大约四五百年前时,逐渐形成了使用希腊字母来代表数量的十进制的记数系统,这样在它的记数符号中就失去了代表数量的成分,再加上古希腊使用的是和古埃及一样的十进制记数系统,而不是更为先进的十进位制记数系统,因而不能够把基本的运算,比如加、减、乘、除、乘方、开方等程序化,这样在一定程度上,给计算带来了不便性。但是当使用两个数量的比率时,就可以回避许多计算问题,因而更加重视对比例的研究。

古希腊的数学家们还发现,当一个物体绕着一个固定点匀速旋转,同时又沿着固定点到该点的直线匀速向外移动(阿基米德螺旋曲线),在经过相同的时间内,该物体在初始的位置到固定点的距离和最后的位置到固定点的距离的比率,等于初始角度和最后角度的比率。这就提示类似的问题通过这种比例关系能够揭示物体的运行规律,因而古希腊在研究世界时,总是努力发现物体、事物之间的比率关系,这种研究方法在科学研究中常常使用,由此而总结出了比例理论,欧几里德在总结前人的基础上,整理出了较为完整的比例理论。

古希腊比例理论的例外一个特点就是,用线段来代表数量,通过几何的方法来形象的展现出比例的性质,在古希腊线段的数量和面积、体积的数量分别代表不同的数量(Magnitude),并没有抽象统一起来,但这些不影响对比例的研究。由于代表数量的符号(线段和希腊字母)不像古代中国、埃及、巴比伦和玛雅的数量符号包含有数量的信息,由此带来的一个好处是在研究数量性质时,不再受数量多少的影响,更关注数量本身的性质和关系,同时也为后来的代数引入符号化提供了某种程度上的事例,而中国的程序化的计算方法,则只注重于数量多少的计算结果。

在被历史学家称之为西欧黑暗时期(Dark Ages 或者 Middle Ages) (约公元476年-公元1640年),数学发展十分缓慢,直到意大利数学家斐波那契(Fibonacci,Leonardo of Pisa,公元1175年-公元1250年),在长期的旅行中,通过对不同国家和文明的记数系统的观测和分析,逐渐认识到了印度阿拉伯记数系统(Hindu-Arabic decimal systems)的巨大优越性,于公元1202年,出版书名为《Liber Abaci》(中文翻译为《计算之书》)的数学书,来详细介绍印度阿拉伯记数符号和计算方法,当时的欧洲人把这套记数系统称之为阿拉伯数字。

由于采用了十进位制的记数系统,包括加、减、乘、除、乘方、开方等基本的计算完全实现了程序化,再加上记数符号书写的便利性,印度阿拉伯记数系统在欧洲经过一二百年的传播,得到了普遍的接受。由此欧洲逐渐摆脱了埃及、希腊的十进制记数系统,和罗马的记数系统。到公元1590年代时,韦达(François Viète,1540-1603)在他的书中,使用字母来替代一些常数,以方便书写和思考。在17世纪,法国律师数学家费尔马使用字母 a 和 e 代表变化的数量,其他字母替代常数,笛卡儿使用 x、y 和 z 来代表变化数量,其他的字母表示常量。这样17世纪的数学家们逐渐的开始了使用字母来替代数量的数学运算和思考。数学也进入了符号时代。
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任国清

个人资料

现居于多伦多,育有一女一儿,女儿博士,儿子高二,热爱数学,拥有大量英文数学古典资料。

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